Nehme ich von drei Äpfeln zwei weg, bleibt einer übrig. Gebe ich zwei Äpfel zu einem hinzu, erhalte ich drei. Konkrete Dinge lassen sich zählen und voneinander abziehen oder zusammenaddieren. Man nennt diese Zahlenfolge mit der Addition und Subtraktion die natürlichen Zahlen eins, zwei, drei usw. Diese Zahlen können wir darstellen, indem wir zumindest zwei verschiedene Symbole benutzen, z.B. 1 und 2 (d.i. die binäre Darstellung: drei = 11, vier = 12, fünf = 111 usw.). Leichter und für uns gebräuchlich ist die Dezimaldarstellung mit 10 verschiedenen Symbolen 0,1,..9. Aber die Darstellungsform ist egal, wesentlich ist die Substanz dahinter: drei – zwei = eins, in allen Darstellungen, egal mit welchen Symbolen. Die Wirklichkeit muss darstellungsunabhängig sein.
Wenn ich von drei Äpfeln drei wegnehme, bleibt kein Apfel übrig. Also brauchen wir auch null in unserer Zahlenreihe, um vernünftig wiedergeben zu können, was in der Wirklichkeit geschieht. Aber was, wenn ich von zwei Äpfeln drei wegnehme? Das geht nicht, würde man meinen, aber symbolisch geht es schon: ich schulde dann einen Apfel. Die geschuldeten Äpfel bezeichnen wir mit einem „-„, also zwei – drei = – eins. Ziehe ich von zwei geschuldeten Äpfeln noch zwei geschuldete Äpfel ab, dann schulde ich keinen mehr: -zwei – (-zwei) = null. Zwei „-„ werden also zu „+“. Diese Zahlenreihe, die auch null und negative Zahlen enthält, heißt ganze Zahlen.
Doch was, wenn ich Äpfel aufteilen will? Drei Äpfel auf drei Personen aufgeteilt ist ein Apfel pro Person. Will ich aber drei Äpfel auf zwei Personen aufteilen, erhält jede eineinhalb. Um also die Wirklichkeit zu repräsentieren, muss ich ganze Zahlen teilen können: die sogenannten rationalen Zahlen sind jeweils durch die Division einer ganzen durch eine ganze Zahl gegeben. Erstaunlich: obwohl das wie wesentlich mehr Zahlen wirkt, kann ich beweisen, dass die Anzahl der rationalen Zahlen genauso groß ist, wie die Anzahl der natürlichen Zahlen.
Doch auch mit den rationalen Zahlen bin ich noch nicht in der Wirklichkeit angekommen. Die Länge des Umfangs eines Kreises z.B. ist keine rationale Zahl, weil die Quadratur des Kreises auch in der Realität nicht möglich ist. Die rationalen Zahlen enthalten sozusagen Lücken, die ich auffüllen muss. Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem als eine Zahl mit einer endlichen Folge von Nachkommastellen darstellen (oder einer periodischen Wiederholung). Aber dazwischen liegen jene Zahlen, die unendlich in der Nachkommastelle variieren, wie z.B. die Zahl pi=3,1415926… Werden die rationalen Zahlen aufgefüllt, erhalten wir die reellen Zahlen. Wiederum erstaunlich: ich kann beweisen, dass die Anzahl der reellen Zahlen 2 hoch der Anzahl der natürlichen Zahlen entspricht, also eine ganze Dimension größer ist! Sie bilden einen abgerundeten mathematischen Körper, der alle Eigenschaften enthält, die das Rechnen mit diesen Zahlen einfach machen. Man kann jedenfalls durch Rechenoperationen untereinander nicht die reellen Zahlen verlassen.
Fast. Was ist, wenn ich die Frage stelle, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die reelle Zahl -1 ergibt? Eine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert muss immer positiv sein. Dafür brauchen wir also eine neue Zahl: i. Man nennt sie imaginär. Existiert sie? Ja. Die Wesen in der Quantenwelt basieren in einer ganz fundamentalen Weise auf den imaginären Zahlen. Jede Zahl besteht aus einer reellen Zahl und aus einem Vielfachen der imaginären Zahl i, zusammen bilden sie die komplexen Zahlen. Das ist ein mathematischer Körper mit unheimlich harmonischen Eigenschaften. Wenn man sich damit beschäftigt, merkt man bald, dass man hier auf eine ganz tiefe Wahrheit dieser Welt gestoßen ist. Die reellen Zahlen sind nur ein kleiner Ausschnitt der wirklichen Welt der komplexen Zahlen! Betrachtet man Funktionen über den komplexen Zahlen (also Zuordnungen, die jeder komplexen Zahl eine andere zuordnen), dann erst gehen einem die Augen auf: alle komplizierten Fundamentalsätze der reellen Analysis vereinfachen sich auf einen Fundamentalsatz im Komplexen. Funktionen im Komplexen werden viel einfacher und harmonischer, unglaublich! Und zwar nicht, indem sie sich ändern, sondern indem sich unser Blickwinkel auf dieselben Funktionen erweitert! Die „reelle Sicht“ ist einfach viel zu beengt!
Die komplexen Zahlen finden in den Quaternionen ihre Erweiterung, sozusagen durch zwei verschiedene Quadratwurzeln aus i, aber diese ergeben keinen mathematischen Körper mehr, sondern nur einen sogenannten Schiefkörper. Und die Okternionen, eine nochmalige Erweiterung auf dieselbe Weise, bilden nur einen schwächlichen Alternativkörper. Man kann mathematisch beweisen, dass es darüber hinaus keinen Pseudokörper von Zahlen mehr geben kann. Das hat geometrische Gründe und liegt an den Eigenschaften der 7-dimensionalen Sphäre.
Die Welt der Quantenwesen, und damit alles, was in dieser Welt existiert, ist fundamental komplexwertig. Die „Wellenfunktionen“, die die kleinsten Einheiten der Wirklichkeit beschreiben, leben in einem komplexen, unendlich dimensionalen Hilbertraum, mit weitreichenden Konsequenzen. Doch davon wird an anderer Stelle die Rede sein.
Persönlich habe ich nie über das genaue Verhältnis zw. Mächtigkeiten der natürlichen und reellen Zahlen nachgedacht und wahr etwas verstutzt über die genaue Aussage, dass |IR| = 2^|IN| . Nach dem Lesen des Wikiartikels zur Mengenlehre wurde mir die Potenzmenge wieder ins Bewusstsein gerufen und mir wird klar, dass sich die reellen Zahlen wohl vermutlich bijektiv auf die Potenzmenge der natürlichen Zahlen abbilden lässt, krass!
Ihnen ist da ein Fehler unterlaufen. Sie erwähnen richtig, dass die Schiefkörper sich in der fehlenden Kommutativität von den Körper bekannt für die komplexen und reellen Zahlen unterscheiden (im Kommentar oben). Aber es hat mich verwirrt, dass direkt dazu ein zusammenhangslosen Beispiel angegeben wurde, wo erklärt wird dass das Distributivgesetz nicht mehr gilt. Für jemanden, der Physik oder Mathematik gemacht haben sollte, ist so ein Fehler nicht zu erwarten. Wikipedia meint, dass selbst Alternativkörper noch das Distributivgesetz erlauben.
Übrigens ist es aus meiner Sicht (als Nicht-Physiker sondern eher Ingenieur) nicht so, dass es komplexe Zahlen oder Unendlichkeit in der realen Physik wirklich gibt. Die Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften sind eher bekannt dafür, reale Effekte möglichst kompakt zu modellieren und mathematisch ergibt sich dann einfach eine komplexe Darstellung als allgemeine Lösung einer reell nicht allgemein lösbaren DGL, z.B. in der theoretischen Elektrotechnik erhält man den Imaginärteil einer Exponentialfunktion als Dämpfungskonstante von einer partiellen DGL oder man hat komplexwertige Widerstände und Leistung, welche sich auf Wechselgrößenanteile bezieht anstatt auf Bestandsgrößen. Genauso existiert der Imaginärteil in einem Frequenzspektrum eigentlich nicht wirklich, sondern ist der mathematischen Modellierung geschuldet bzw. der verallgemeinerten Form der Fouriertransformation, welche mit Exponentialterm integriert anstatt mit Cosinus oder Sinusterm wie bei der Fourierreihe (die Exponentialfunktion taucht eben mit komplexkonjugierten Exponenten in den Schwingungen auf). Wenn man also eine beliebige Funktion aus Exponentialtermen zusammenbauen wöllte, müsste man imaginär gewichtete Funktionen addieren, weil es sonst nicht stimmt. Macht man es nur mit Cosinus oder Sinus, hat man den Imaginärteil nicht im Frequenzspektrum.
So ist es auch mit den vielen Dimensionen von Quantenzuständen bzw. komplexen Zahlen dort. Die sollen jetzt nicht aussagen, dass die Realität aus unendlich vielen Dimensionen besteht oder Teilchen darin leben (zur Dimensionaliltät soll es andere Theorien in der theoretischen Physik geben), sondern diese Notation mit den superpositionierten Zuständen und Dimensionen hat nützliche Eigenschaften, die zur Modellierung von Messwahrscheinlichkeiten hinzugefügt wird (weil man alles so kompakt wie möglich in Formeln packen will). Die Unendlichkeit hat rein mathematische Gründe, weil es so angenehmer ist und besser zu vorhandenen Formulierungen passt, oder bezieht sich genauer auf kontinuierliche Zustände (d.h. unendliche viele Messergebnisse, z.B. den Ort im Universum). Abhängig davon, ob das Universum nun wirklich unendlich groß ist (und wie Mächtigkeit diese Unendlichkeit bei mind. 4 Dimensionen ist), ergeben unendlich viele Zustände eines Teilchen Sinn oder nicht. Ich stelle mir den superpositionierten Zustand wie mit imaginäre Größen in der Elektrotechnik vor: die Superposition ist eine nicht direkt messbare und nicht direkt vorhandene Größe sondern eine Konfiguration (Einstellung), die Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von Messergebnissen nimmt bzw. eine Wechselgröße, die sich nur aus Veränderungen mit der Zeit bestimmt. Die komplexe Zahl hier ist eine komplexe Wahrscheinlichkeitsgewichtung für jeden “reinen” messbaren Zustand. Der quadrierte Betrag stellt die Wahrschkeit dar, das Argument dagegen eine Art Phasendifferenz zwischen den reinen Zuständen für Zustandsübergänge oder zumindest benötigte Zeit. Dieses Modell muss nicht real so im Teilchen existieren aber kann Vorhersagen von tatsächlichen Messungen verbessern.
Die lateinische Sprache ist wohl nicht essenziell zur Beschreibung der Mathematik. (Viele verwenden in ihrem Alltag andere Sprachen und Zeichensysteme.) Und wie im Artikel erwähnt ist auch das Zahlensystem selbst nicht relevant. Freilich bedeutet das nicht, dass wir das Repräsentationssysteme irgendwie verstehen lernen müssen, wenn wir in ihnen formulierte Inhlte verstehen wollen. Allerdings sind meiner Meinung nach die Hoffnungen der Fachleute eher andersherum: Sie erwarten eher über die Suche nach mathematischen Grundprinzipien Repräsentationssysteme verstehen zu lernen.
PS:
Ich hatte das additive Zahlensystem als Bestandteil mathematischer Formeln vergessen, dass schon 3000 v. Christus von den Ägyptern verwendet wurde.
Doch die Frage bleibt: Ist es wahrscheinlich, dass extraterrestrische Existenzen auch ein additives Zahlensystem und ein lateinisches Alphabet entwickelt haben, um mit ihnen die Gesetzmäßigkeiten der Mathematik zu beweisen? Oder zwingen die Gesetzmäßigkeiten der Mathematik alle intelligenten Lebensformen im Universum, die befähigt sind, über Sinn und Unsinn ihres eigenen Daseins nachzudenken, in die gleiche Sprache? Was, wenn deren Evolution ihnen z. B. keine Arme mit Händen und Fingern zum Schreiben mitgegeben hat, um ein additives Zahlensystem und ein lateinisches Alphabet zu entwickeln? Intelligenz ist von solchen Merkmalen nicht abhängig. Doch wie kommunizieren sie dann mathematische Gesetze?
Vielleicht ist so etwas für eine hochintelligente Lebensform, die 800.000 Jahre weiter ist als wir, auch gar kein Thema mehr.
Als staunender mathematischer Laie begebe ich mich gar nicht erst aufs Glatteis, indem ich hier eigene Theorien verteidige. Stattdessen komme ich (überwiegend) fragend daher.
Ich nehme zur Kenntnis, dass die Sprache der Mathematik universell und keine Erfindung des Menschen ist – und extraterrestrische Intelligenzen in einer 6 Milliarden Lichtjahre entfernten Galaxie die gleichen mathematischen Gesetzmäßigkeiten entdecken mussten bzw. müssen wie wir.
Doch wie drücken andere Intelligenzen diese Gesetzmäßigkeiten sprachlich aus? Würden Sie die mathematischen Formeln auf der ins All geschickten Sonde des Menschen, die Martin Balluch im vorletzten Blog erwähnt hat, überhaupt verstehen? Also Formeln wie: „E = mc hoch 2“ oder den Satz des Pythagoras.
Unzweideutig ist, dass die menschliche Darstellung und Beweisführung universeller mathematischer Gesetze heute unter Zuhilfenahme der lateinischen Sprache erfolgt. Die wiederum beruht auf einer jahrtausendelangen Entwicklung, die bis ins 6. vorchristliche Jahrhundert zurückreicht. Eine extraterrestrische Intelligenz müsste – evolutionär, soziokulturell – die gleiche Entwicklung unter den gleichen Bedingungen durchlebt haben wie die Menschheit, um die universelle Logik mathematischer Gesetzmäßigkeiten mit den den gleichen Formeln darzustellen, wie wir es heute tun. Ist dies nicht unwahrscheinlich?
Da es aber nur EINE Mathematik gibt: Wäre dies dann lediglich eine Übersetzungsfrage? In SF-Filmen über den Erstkontakt mit extraterrestrischen Intelligenzen wie „Stargate“ oder „Contact“ ist dies bekanntlich immer einem Genie mit besonders ausgeprägtem logisch-mathematischem Denken gelungen. Doch in der Realität hätten wir es womöglich mit evolutionären Entwicklungssprüngen zu tun, die unser Vorstellungsvermögen weit übersteigen.
Ich breche meine Verwirrtheit auf eine Anekdote runter, die mich sehr geprägt hat:
Fritjof Capra (Physiker und Philosoph) hat einmal eine Lektion seines Lehrers Gregory Bateson (Biologe, Anthropologe, Kybernetiker und Philosoph) geschildert: Dieser hatte es sich zur Angewohnheit gemacht, alle Studenten mit der Frage zu konfrontieren, wie viele Finger seine rechte Hand hat. Welche Antwort seine Schüler auch gegeben haben, sie war falsch. Batesons Auflösung: Die Natur kennt keine Zahlen, sondern nur Zusammenhänge.
Spätestens bei den komplexen Zahlen ist mein Horizont erreicht, aber zu sehen, dass intelligente(re) Menschen darüber hinaus noch vernünftige Überlegungen anstellen können, ist faszinierend und hat mich soeben von einer emotionell sehr belastenden Sache abgelenkt. Zu den verschieden großen Unendlichkeiten fällt mir eine Redewendung aus dem Bereich der Religion ein: “Von Ewigkeit zu Ewigkeit” – wer weiß, vielleicht auch Unendlichkeiten unterschiedlicher Größe und/oder Qualität?
Bei den Pseudokörpern, wie Schiefkörper und Alternativkörper, fehlt eine wesentliche Voraussetzung, um einen abgerundeten Zahlenkörper zu erhalten: die Kommutativität. Eine der Zahlen aus einem Schiefkörper mit der Summe zweier anderer multipliziert ist i.A. nicht mehr die Summe der jeweils multiplizierten Zahlen. Bei den reellen Zahlen schon: 5 x (3+5) = 5×3 + 5×5 und bei den komplexen Zahlen auch. Weiter geht es dann nicht mehr, die komplexen Zahlen sind der größte mögliche Zahlenkörper.
Es gibt tatsächlich unendlich viele verschieden große Unendlichkeiten. Die Anzahl der natürlichen Zahlen bezeichnet man i.A. mit aleph_0 und nennt sie abzählbar unendlich. Die Anzahl der reellen Zahlen nennt man aleph_1 und nennt sie die nicht-abzählbar oder überabzählbar unendlichen Zahlen. Und dann gibts noch unendlich viele dieser aleph_n. Taschner hat ein allgemein verständliches Buch über die Unendlichkeit in der Mathematik geschrieben.
Alle Wege führen nach Rom …
Man kann meditieren und man kann sich konzentrieren. Wenn man das exzessiv betreibt, kommt es bei manchen Menschen zu verschiedenen psychischen Erlebnissen. Angefangen von besonderen Glücksgefühlen, bis hin zu echten Visionen.
Fängt man an zu rechnen und tut das lange genug, kann man genauso in solche Zustände geraten, wie wenn man ständig OM singt, Yoga macht, das “Vaterunser” betet, in den Himmel starrt, oder sich auf eine Säule setzt und dort betend, langsam, bei lebendigem Leib verfault. Was man dabei dann “erlebt”, hängt auch von dem ab was man erwartet, oder wünscht. Beschäftigt sich jemand mit Mathematik, wird er diese Zustände fälschlich seiner Beschäftigung zuschreiben. Dieselbe Euphorie erleben auch die “Magier”, die mit Zahlen hantieren. Da wurde etwa “ausgerechnet”, dass die Zahl 365 alles Seiende beinhaltet, oder dass – ich glaube mich zu erinnern – “abraxas” der wahre Name Gottes ist. Weil durch die Beschäftigung mit Zahlen, oder Buchstaben bestimmte Gefühle ausgelöst werden. So entstehen dann auch Sekten und Religionen. Jemand hat eine mystische Erfahrung, weil er einen bestimmten Ritus vor einem Baum ausführt, oder weil er rechnet, und erzählt das weiter. Andere machen es nach, haben ähnliche Erfahrungen und dann wird der Baum zu einem Heiligtum, in dem ein Gott wohnt, oder die Mathematik zur Offenbarung Gottes.
Zahlen sagen an sich gar nichts aus, niemand versteht die Welt besser weil er rechnen kann. Aber wer lange genug rechnet, verändert damit seinen Bewusstseinszustand und versteht, oder erlebt sogar als Vision, was er sonst nicht verstehen würde. Nur derjenige der sich damit beschäftigt kann euphorisch werden. Alle anderen bleiben gleichgültig. 🙂
Ich komm da auch nicht ganz mit und steig schon viel früher aus, ich hätte eine Frage: gibt es nicht unendlich viele ganze Zahlen? Wie kann es mehr als unendlich viel geben?
Sehr spannend. Was sind Schiefkörper und Alternativkörper? Was funktioniert da nicht mehr, das bei komplexen Zahlen schon funktioniert?
Wenn also drei Leute im Raum sind und fünf Leute rausgehen, dann müssen 2 Leute reinkommen, damit der Raum wieder leer ist.
Und: der Imaginärteil einer komplexen Zahl kann wahlweise auch als Winkel angegeben werden.
Es ist wie der Blick durch eine leicht geöffnete Tür in eine `Kathedrale´. Da möchte ich Mathematik studiert haben um in diese Tiefe und Weite einsteigen zu können!! So kann ich deine Einsichten zwar nicht umfassend nachvollziehen, aber ich habe eine Ahnung von der Größe (der Zusammenhänge) die du meinst, dazu die Begeisterung, diese kann ich mit dir voll und ganz teilen und damit anstatt halbieren verdoppeln 🙂
Die Telefonnummer, die Sie gewählt haben, ist imaginär. Bitte drehen Sie Ihr Telefon um 90 Grad und probieren Sie es noch einmal!